投毒罪的管辖部门主要涉及 公安机关和人民法院。具体来说：
公安机关：
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十九条的规定，刑事案件的侦查由公安机关进行，法律另有规定的除外。因此，投毒罪作为刑事案件的一种，其侦查工作应由公安机关负责。
人民法院：
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二十五条的规定，刑事案件由犯罪地的人民法院管辖。如果由被告人居住地的人民法院审判更为适宜的，也可以由被告居住地的人民法院管辖。
综上所述，投毒罪的管辖地可以是犯罪行为发生地的公安机关，也可以是被告人居住地的人民法院。具体管辖权归属还需根据案件的具体情况和法律规定进行判断。
建议在实际案件中，相关执法机关应严格按照法律规定和程序进行管辖，确保案件的公正审理和有效处理。
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